Net Returns (净利率)

Gross Returns

$1 + R_{t} (k) = \frac{P _{t}}{P _{t - k}} = = \frac{P _{t}}{P _{t - 1}} \cdot \frac{P _{t - 1}}{P _{t - 2}} \dots \frac{P _{t - k + 1}}{P _{t - k}} (1 + R_{t}) \dots (1 + R_{t - k + 1})$

Log Returns

aka continuously compounded returns
$r_{t} = lo g (1 + R_{t}) = lo g (\frac{P _{t}}{P _{t - 1}}) = p_{t} - p_{t - 1}$
对数收益是针对全收益计算，但是由于数学特性与净收益趋近

并且易知 multiperiod returns 就是 sum of each log returns

易知

l o g P r i ce = l o g B a se + r_{1} + r_{2} + \dots + r_{t}

The Random Walk Model

log returns are indepent. 又因为其可加性，根据中心极限定理可以推知正态分布

lo g R_{t} (k) \sim N (k μ, k σ^{2})

Random Walk

$Z_{1} \dots$ 独立同分布 with mean μ, sd σ.

S_{t} = S_{0} + Z_{1} + \dots + Z_{t}, t \geq 1

Geometric Random Walk

or exponential random walk. 对数是 random walk 的

如果恰好对数收益独立同正态分布，那么这个 $P_{t}$ 满足 lognormal geometric random walk

Faq

有个自然的想法：那么 log returns 满足 geometric random walk 吗？

不是


revenue	利润	returns	利率
i.i.d.	独立同分布